[이산수학] conditional proposition, Implication p→q, representations | 조건명제, 함축
[1]
조건 명제 = 함축
implication = conditional statement
'if p then q'라는 의미를
p -> q 기호로 표현한다.
여기서 p는 hypothesis(or premise) 가정이고,
q는 결과 consequence(or conclusion)에 해당한다.
조건 명제의 진리표에 주의해야 한다. 다음 예제를 살펴보자.
"If you try hard for your exam, then you will succeed."
p : you try hard for your exam
q : you will succeed
p가 false가 되어
이 명제의 전제(p)가 충족되지 않은 경우는
이 문장의 범위를 벗어난 경우이므로 false라고 판단할 수 없다.
false가 아닌 명제는 true이므로 true이다.
(if p is false then it doesn't matter what will be the truth value of q, p-> q is always true.)
정리하자면 다음과 같다.
| p | q | p->q |
| t | t | t |
| t | f | f |
| f | t | t |
| f | f | t |
homework
1. if 1+1 = 3, then dogs can fly. (F)
2. if 1+1=2, then dogs can fly. (F)
3. if monkeys can fly, then 1+1=3(T)
4. if 1+1=2, then 2+2=5(F)
[2]
Implication - representations
different ways to represent conditional statements
- if p then q
- p implies q
- q when p
- q whenever p
- q follows from p
<주의!>
p->q를 그림으로 표현하면 위와 같다.
아래 명제들은
p의 필요조건이 q라는 것을 이용한 표현이다.
- p only if q
p -> q이니까 p는 q의 충분조건이고, q는 p의 필요조건이다.
p ⊆ q이므로 성립
- q is necessary for p
마찬가지!
- p is sufficient for q
마찬가지!
- q unless ¬p
p가 아니지 않으면 q이다.
= p이면 q이다.
= p->q
example
I will stay at home only if I'm sick.
p : I will stay at home
q : I am sick
p only if q
"Truth value of p and q must be same in order to falsify the statement"
P T q T : I stay at home and I am sick -> T
p T q F : I stay at home but I am not sick -> F
p F q T : I don't stay at home and I am sick -> T
p F q F : I don't stay at home and I am not sick -> T
p -> q로 바꾸면?
If I stay at home then I am sick.
p T q F일 때만 false
--> p only if q는 if p then q(p->q)와 동치!
why 'p only if q' is not equivalent to 'if q then p'?
앞 명제에서 p는 충분조건, q는 필요조건
뒷 명제에서 p는 필요조건, q는 충분조건
이므로 같지 않다.
ex)
I'll stay at home only if I'm sick.
p : I'll stay at home
q : I'm sick
진리표
| p | q | p->q |
| t | t | t |
| t | f | f |
| f | t | t |
| f | f | t |
If I'm sick then I'll stay at home.
p : I'll stay at home
q : I'm sick
| p | q | q->p |
| t | t | t |
| t | f | t |
| f | t | F |
| f | f | t |
As when p is TRUE and q is FALSE, p only if q is false
but with same truth values of p and q, if q then p is true
thus, p only if q is not equivalent to if q then p
Logical Operators − Implication (Part 2) - YouTube